ご質問ありがとうございます。
anythingとeverythingの違いを説明するのがとても難しいです。例えば、Tatsuaki様の例文I can eat almost anything.に対してeverythingかanythingかどっちでも自然に使えます。というのは違いが曖昧ですが、ニュアンス的に違いがあるに違いないです。almost everythingは「ほとんど全部」のニュアンスです。almost anythingは「何かさえあればいい」みたいなことです。
例:晩ご飯で何を食べるかの話で:
I could eat almost everything.「(ほとんどなんでも全部食べれる(どんな量でも)」
I could eat almost anything.「なんでもいいよ。ただ食べ物さえあれば食べれる。」
ご参考になれば幸いです。