確かに to call around で「あちこちに電話をする」と言えますが、私は to email around とは言わないですね。
「あちこちにメールをする」は次のように表現できるかと思います。
ーto send out emails to several people
ーto email people here and there
例：
I emailed people here and there to let them know I moved.
「引っ越したことを知らせるため、あちこちにメールした」
ご参考まで！
ご質問ありがとうございます。
そうですね、「あちこちにメールをする」は英語にすれば、「e-mail around」と言いますが、少しカジュアルな言い方なので、注意ください。
例文：
I was e-mailing around but couldn't find an answer.
色々な人にあちこちにメールしたが、解答なかった。
もし、丁寧な言い方を知りたいなら、「exchanging e-mails」や「e-mailing back and forth」でも言えます。ただ、これらは「やり取り」というニュアンスもあります。
ご参考になれば幸いです。
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