Whenever I go to a Yakiniku restaurant, I always cook the meat and vegetables for everyone else.
この場合、次のように言うと良いと思います。
ーWhenever I go to a Yakiniku restaurant, I always cook the meat and vegetables for everyone else.
「焼肉屋に行くといつも、みんなのために焼く係になる」
「担当」という意味の英語を使うと不自然な感じになるので、このようにシンプルに言うのが自然な感じで良いと思います。
ーJapanese women tend to serve other people when they go to a restaurant.
「日本人の女性はレストランに行くとみんなに給仕する傾向にある」
ご参考まで！
when I go to a Yakiniku restaurant I end up taking charge and cook for everyone.
ご質問ありがとうございます。
「焼肉にいくと焼く係にされる」は英語で「when I go to a Yakiniku restaurant I end up taking charge and cook for everyone.」と言います。
「焼き担当」は英訳すると「person in charge of cooking」になります。
ご参考になれば幸いです。
カナダ 
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