I really don't want to continue living in such a run-down apartment like this.
I'm tired of living in such an old apartment.
ご質問ありがとうございます。
① "I really don't want to continue living in such a run-down apartment like this."＝「もうこんなボロマンションに私は本当に住み続けたくないよ。」
② "I'm tired of living in such an old apartment."＝「こんな古いマンションに住むのに私は疲れた。」
ご参考になると幸いです。
I've had enough of living in an old apartment building like this.
I don't want to stay in this dump for one more day.
この場合、次のような言い方ができますよ！
ーI've had enough of living in an old apartment building like this.
「こんなオンボロマンションに住むのはうんざりだよ」
ーI don't want to stay in this dump for one more day.
「もう１日たりともこんな薄汚れたところに住みたくない」
dump はもともと「ごみ捨て場」という意味があり、薄汚れたオンボロの場所などのことを言うときにも使われます。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
