It's been 10,000 days since you were born. Happy Birthday!
ケーキに短く書く場合は、次のように書くと良いでしょう。
ーHappy 10,000th Day!
「生まれて10,000日おめでとう!」
birthday などを書かなくても、これだけで生まれて10,000日おめでとう、の意味になります。
手紙など文章として書く場合は、次のように書くと良いでしょう。
ーIt's been 10,000 days since you were born. Happy Birthday!
「あなたが生まれて10,000日が経ちました。おめでとう!」
ご参考まで!