生まれて10000日おめでとう！って英語でなんて言うの？

ケーキに短く書く場合は、次のように書くと良いでしょう。
ーHappy 10,000th Day!
「生まれて10,000日おめでとう！」
birthday などを書かなくても、これだけで生まれて10,000日おめでとう、の意味になります。

手紙など文章として書く場合は、次のように書くと良いでしょう。
ーIt's been 10,000 days since you were born. Happy Birthday!
「あなたが生まれて10,000日が経ちました。おめでとう！」

ご参考まで！

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されておりますので、ここでは他の例を挙げてみます。

Happy 10,000th Day!
や、
Cheers to 10,000 Days!
少し変えて、
10,000 Days of You—Congrats!
とすると、「生まれて10000日おめでとう！」というようなニュアンスで伝えられます。

役に立ちそうな単語とフレーズ
congrats おめでとう（congratulationsの省略形）

参考になれば幸いです。