あなたの飼っている犬と猫は仲良しですか？って英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができます。

ーDo your dog and cat get along?
「あなたの犬と猫は仲良しですか？」
to get along で「仲良くやる・気が合う」

ーDoes your cat give your dog a hard time?
「あなたの猫はあなたの犬を困らせますか？」
逆の聞き方で、片方がちょっかいを出したり、しつこく何かをしたりするということは、あまり仲が良くないと言えるので、このような聞き方もできます。

ご参考まで！