こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、はい、cat slave でOKです。例えば、I am a cat slave. とすると、『私は猫の下僕です。』となります。もう少し文章っぽくするのであれば、I am a slave to my cat. としてもOKです。
役に立ちそうな単語とフレーズ
become a slave to ~のとりこになる
slave to ~の奴隷
consider oneself a slave to 自身を~の奴隷と考える
参考になれば幸いです。