The conversation gradually took off, and we kept talking about one topic after another.
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、『ふくらむ』は、expand を使って、The conversation expanded. 『話が膨らんだ』と言えます。また、口語的ですが、
The conversation gradually took off, and we kept talking about one topic after another.
として、『会派は徐々に盛り上がり、私たちは次から次へと新しい話題で話し続けた。』というように表現することもできます。
役に立ちそうな単語とフレーズ
one after another 次から次へと、相次いで
take off うまくいき始める、上昇し始める、軌道に乗る
gradually 徐々に、次第に、だんだんと
参考になれば幸いです。