ご質問ありがとうございます。
「〇〇の英語[記録](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33248/)」は英語で「record of ○○ in English」と言います。
この場合、具体的に子供が英語で話したフレーズの記録をつけたいなら、そうすると、「A record of spoken phrases that the child said in English.」になります。
もし、もっと短い文章の方が良いであれば、「Record of English phrases」でも十分だと思います。
ご参考になれば幸いです。