お店のゴミのみって英語でなんて言うの？

この場合、次のように表記すると良いでしょう。

ーOnly In-Store Garbage Please
「店内のゴミのみでお願いします」
in-store garbage で店内で出たゴミだけという意味になります。

ーNo Outside Garbage Please
「店外のゴミはご遠慮ください」
outside garbage で店の外からのゴミを言うことができます。

ご参考まで！

"お店のゴミのみ"
- Only trash from the store.
- Trash from the store only.
- Store trash only.

No outside trash allowed.
- 外部からのゴミはダメです。
Trash that is not from the store is not allowed.
- お店のものではないゴミはダメです。
Do not throw away trash that is not from this store.
- この店のものではないゴミを捨てないでください。