書類を埋めるって英語でなんて言うの？

「(紙の書類を文字で）埋める」はシンプルにfill inという動詞で表現できます。fillは色を塗って色である個所を埋め尽くす・埋める、つまり「色塗り」の作業もfill in という表現もすることができます。 completeは「完全にする、完成させる」という意味の動詞です。こちらも場合によっては使用できるでしょう。 「書類の必須項目をすべて埋めてから提出してください」は Please submit the form after filling in the all required items.などで表現できるでしょう。