こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
Do you remember who was supposed to do this task?
として、『このタスクって誰がやるんだっけ覚えてる？』または、
Can someone remind me whose task this is?
として、『このタスクって誰のだったか教えて（思い出させて）？』とするのはいかがでしょうか。
役に立ちそうな単語とフレーズ
supposed to ～することになっている、～するはずである、～しなければならない
remind 人に思い出させる、人に気付かせる
参考になれば幸いです。
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーWho was supposed to do this?
「これ誰がやるんだっけ？」
ーWhose job is this?
「これ誰の仕事だっけ？」
ーWhose responsibility was it to take care of this?
「これ誰が処理することになってたっけ？」
ご参考まで！
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