この場合、次のような言い方ができますよ。
ーMy cat has a strange way of sleeping.
「うちの猫は変な寝方をする」
a strange way of sleeping で「変な寝方」
ーMy dog sleeps in weird positions all the time.
「うちの犬はいつも変な寝方をする」to
to sleep in weird positions で「変な寝方をする」
変な寝方がいつも同じで1パターンなら a weird position、何パターンもあるなら weird positions とします。
ご参考まで!