こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
As my departure date for studying in the UK draws near, I find myself increasingly engaged and enthusiastic about my English studies.
として、『留学でイギリスに出発する日が近づくにつれ、英語学習にますます身が入る』とするのはいかがでしょうか。
役に立ちそうな単語とフレーズ
warm to ～に身が入る、～に熱が入る、～に乗り気になる
get into 夢中になる、のめり込む
find oneself 自分が～だと分かる
engaged 没頭している
enthusiastic 熱心な、熱狂的な、熱烈な、夢中になって
draw near だんだんと近づく
参考になれば幸いです。
日本 
