この場合、次のような言い方ができます。
ーA thread on my shirt got caught on my desk.
「シャツの繊維が椅子に引っかかった」
to get caught on ... で「…に引っかかる」
ーMy hair got caught on the back of my chair and I can't get it loose.
「髪の毛が椅子の背もたれに引っかかって取れない」
I can't get it loose で「取れない」を表現できます。
ご参考まで!