ご質問ありがとうございます。
まず、「Shall we [exchange](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34764/) LINE？」は間違えてるわけではないけど、確かに日常会話で使わないです。丁寧すぎです。
その代わり、「Do you mind if we exchange our Line contact?」でもいいし、「Would it be all right to exchange LINE?」でも言えます。
ご参考になれば幸いです。
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問にある表現は、先のアンカーさんが回答されている通り間違いではありません。LINEなどを交換しませんかというニュアンスで使うのであれば、
Would you like to exchange LINE IDs?
とすると、『ＬＩＮＥのＩＤ交換しませんか』とも言えます。直訳では、『～したいですか』となりますが、実際の会話では『～するのはいかがですか・しませんか？』というようなニュアンスで使われています。
参考になれば幸いです。
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