この場合、次のような言うと自然な感じで良いでしょう。
ーI was so tuckered out I sat down and fell asleep.
「疲れ果てて座ったら寝てしまった」
ーI was so exhausted I fell asleep in my chair.
「疲れ果てて椅子で寝落ちした」
例：
I know I was supposed to call you at 8 o'clock, but I was so tuckered out I sat down and fell asleep.
「8時に電話する予定なのは知ってたけど、疲れ果てて座ったら寝落ちしちゃった」
ご参考まで！
My schedule was packed today and didn't notice the time, because I had fallen asleep in my chair. I'm sorry.
こんにちは。
ご質問ありがとうございます。
"My schedule was packed today"＝「今日は予定がいっぱいだった」
"and didn't notice the time,"＝「そして時間に気が付かなった」
"because I had fallen asleep in my chair. I'm sorry."＝「なぜかというと、座ったまま寝てしまったので。ごめんなさい。」
ご参考までに。
カナダ 
アメリカ合衆国 
