冷蔵庫をパンパンに詰め込まないでって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。
ーDon't put too many things in the fridge.
「冷蔵庫にあまり多くのもを詰め込まないで」

ーDon't overfill the fridge.
「冷蔵庫をいっぱいにしすぎないで」

例：
Don't put too many things in the fridge because it's hard to see what's at the back and things don't stay cold.
「奥のものが見えないし、ものが冷えないから、冷蔵庫にあまりいっぱい詰め込まないで」

ご参考まで！