私も部屋を掃除しなきゃって英語でなんて言うの？

通常 also は too や as well より形式ばった言い方です。

ーI have to clean my room too.
「私も部屋を掃除しなきゃ」
too は口語でよく使います。

ーI also play the piano.
「私はピアノも弾きます」
also は客観的な事実を言うときによく使われます。

ご参考まで！