突然のお願いで恐縮ですがって英語でなんて言うの？

★ 直訳
「このような短い通告でこれをするようにあなたにお願いしてすみません」

★ 語句と表現
・we
　仕事の関係で取引先に連絡する際には、基本的には主語を we にします。

・be sorry for 〜
「〜ことで申し訳なく思う」

・ask 人 to do
「人に〜するようにお願いする」
　英訳例では asking と動名詞になっていますが、これは前置詞 for の後に置くために動詞を名詞化するためにです。前置詞の直後には名詞を置くというルールがあります。

・on such short notice「突然の」
　notice には「通告、知らせ」などの意味があります。これに short をつけることで、期間的に差し迫った段階でお知らせをしていることを意味します。
　また連絡が遅くなってしまった場合には次のように言うことができます。
　We are sorry for such short notice.

　さらに one month notice など期間と共に使うことによって、「一ヶ月前の知らせ」のように使うこともできます。
　You have to give them three months' notice to quit. 「辞めるには3ヶ月前に会社に知らせないといけません」

以上ですが、お役に立ちましたでしょうか。

既存回答に加えまして、ちょっと違った表現を。

out of the blue というのは「突然」とか「（空から）降って湧いたような」というニュアンスですが、唐突に何かを突きつける、あるいは突きつけられた時に使われる表現です。

自分も本当に驚いてて、申し訳ないと思っているんだけど、というような意味でうまく伝わるのではないでしょうか。

...のところは動詞を入れて文章を仕上げてください。

いずれにせよ、なぜそういう事態になったのかを説明する必要はあるのかも知れません。

相手からの回答が out of the blue のものでないことを祈ります （笑）

ご参考になりましたら幸いです。よいお年を！！

I apologize for the sudden request.
突然のお願いですみません。

I apologize for asking you to do this on such short notice.
急にこんなことをお願いしてすみません。

上記のように英語で表現することができます。
apologize で「謝る」という意味になります。

お役に立てればうれしいです。

ご質問ありがとうございます。

I apologize for the sudden request
突然の依頼で申し訳ございません

上記のように英語で表現することができます。
sudden は「突然の」というニュアンスの英語表現です。
apologize は sorry よりもフォーマルな印象があります。

お役に立ちましたでしょうか？
英語学習頑張ってくださいね！

こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか：

I'm so sorry to ask you this out of the blue.
突然このようなお願いをして本当にすみません。

I apologize for the sudden request.
突然のお願いで申し訳ございません。

apologize は「謝る」という意味の英語表現です。

ぜひ参考にしてください。