用事が済み次第改めて私の方から連絡いたします。って英語でなんて言うの？

Let me contact you later when it's done.
このことが終わったら連絡させてください。

I'll contact you again when I'm finished.
終わったら再度連絡します。

★ポイント★
「〜したら」「〜した時」などの表現は時・条件節なので
このように現在形で表現します！

contact = 連絡
as soon as ~ = ~ 次第すぐに

具体的に何の用事かということも言いたい場合は、I’ll contact you as soon as I’m done の後に説明を付け足します。
TAKASHIさんの場合、I’ll contact you as soon as I’m done talking to my customer. （お客様との会話が終わり次第、私の方から連絡いたします。）という表現を使ってもいいかもしれませんね。

少しでもお役に立てれば幸いです。
ありがとうございました。