The public wouldn't stop talking about my private life.
People are always plaguing me with questions.
この場合の「世間がうるさい」は次のような言い方が自然で良いかなと思います。
ーThe public wouldn't stop talking about my private life.
「世間が私のプライベートについて話すのをやめない」
ーPeople are always plaguing me with questions.
「世間はいつもうるさく質問する」
to plague with ... で「人を…でうるさがらせる」
ご参考まで!
・People are being noisy.
直訳に近い表現ですが、ここでの noisy は物理的な音だけでなく「周囲がガヤガヤと騒ぎ立てている」という状況を説明するのに使えます。
・To get everyone off my back.
「みんなを私から離れさせる(解放してもらう)」という熟語です。「(周囲がうるさく干渉してくるのを)やめさせるために」という、「これ以上言われないように発表した」という意図に近いニュアンスになります。