こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、はい、Pass me the mayonnaise は自然な表現でよく使われています。また、hand me でも間違いではありませんが、このような状況ではどちらかというと pass me が使われている気がします。
例文
Could you pass me the mayo, please?
『そこの[マヨネーズ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/86872/)とって下さい』
参考になれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
・「Can you pass me the mayonnaise please? 」
「May I have the mayonnaise, please?」
(意味) そこのマヨネーズとってくれる?
<例文>Can you pass me the mayonnaise please?// Sure.
<訳>そこのマヨネーズとってくれる?//うん。
参考になれば幸いです。