〇〇と呼ばせてもらうねって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーLet me call you XX.
「あなたのことは XX って呼ばせてもらうね」

ーMaybe I'll call you XX.
「あなたのことは XX って呼ぼうかな」

ーMaybe I'll use the name XX.
「XX の名前を使って呼ぼうかな」

ご参考まで！

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されているので、ここでは他の例を挙げてみます。
例えば、

I’ll call you ABC if that’s okay.
とすると、『差し支えなければABCと呼ばせてもらうね。』と言えます。

役に立ちそうな単語とフレーズ
if that's okay 差し支えなければ

参考になれば幸いです。