My old cat doesn't want anything to do with my new cat.
My old cat keeps brushing off my new cat.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーMy old cat doesn't want anything to do with my new cat.
「うちの先住猫は、新入り猫を相手にしない」
to not want anything to do with ... で「…と関わりたくないと思う」
ーMy old cat keeps brushing off my new cat.
「うちの先住猫は新入り猫を相手にしない」
to brush off で「そっけない・取り合わない」
ご参考まで！
ご質問ありがとうございます。
・「My cat keeps ignoring the new cat.」
（意味) 猫は新入り猫を全く相手にしません。
<例文>My cat keeps ignoring the new cat. She's not very friendly.
<訳>猫は新入り猫を全く相手にしません。あまりフレンドリーではありません。
参考になれば幸いです。
カナダ 
アメリカ合衆国 
