飴とムチの使い分けが上手いって英語でなんて言うの？

甘やかしすぎても厳しすぎてもだめですね。

「アメとムチ」
→"carrot and stick"

"carrot"は人参。"stick"は棒ですね。対応する表現なのはわかるけど、なんのこっちゃ、というと人が多そうですね。説明しますと、馬のしつけをもとにした表現ですね。馬にとっての好物である人参が「アメ」で、うまくをしつけるために用いる棒が「ムチ」というわけです。馬をしつける場面に用いる表現を最初に人間に当てはめて使った人の気を若干疑わないこともないですが。

you're good at disciplining your kidsは直訳すると、「あなたは自分の子供のしつけが上手だ」という意味になります。
disciplineは、動詞として使用するときに、「しつける」のほかに「懲らしめる」やなにかルールや規則などを「守らせる」などの意味もあります。

I try to discipline myself to eat less sweets.
わたしは、甘いものを控える習慣を身に着けるように努めます。

you know how to balance rewards and punishmentsの直訳は、「あなたは褒美と罰のバランスの取り方を知っている」です。
balanceは、動詞として用いるとき、「バランスをとる」はもちろん、「平衡を保つ」や「はかる」や「両立させる」などの意味もあります。
rewardは、名詞として「褒美」や「報酬」や「利益」などの意味になります。
punishmentは、基本的に「罰」という意味になります。