「これ（メニュー表）に書いてある順番にお運びします。」って英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーI'll bring your food to you in the same order you see it on the menu.
「メニューで見るのと同じ順番で食事をお持ちします」＝「メニューと同じ順番でお持ちします」

ーYour dishes will be brought to the table in the order they are listed on the menu.
「お料理はメニューに載っている順番でテーブルにお持ちします」

ご参考まで！