押入れの奥にしまっちゃったって英語でなんて言うの？

「stash」という動詞は「あとでこれいるからここに入れて置く」という時に使います。特に、みんなから隠しているとき。
名詞でも使えます：
"I keep a stash of pens in my drawer."
「引き出しにペンを何本も隠している」

「'way」は「away」という意味です。「'way」の方がよく使われています。アポストロフィを使わない場合もあります。

pack awayで奥にしまうという意味です。

上記の文を訳すと
It's really hot today, but I already packed away my summer clothes in the back of my closet.　となります。押し入れはclosetで問題ないです。

また衣替えはかっこの部分に過ぎ去っていく季節を入れて
It's time to pack away my winter clothes.　（冬物の服をしまう頃ね）といいましょう。

おっしゃられている内容は、以下のように表現できると思いました(^_^)
I put it away in the back of my closet.

put awayは「モノを片付ける」という時によく使います。

backは「奥」の意味でよく使います。
例えば、「奥歯」は、back toothと言いますし、
「部屋の奥」は、back of the roomと言います(^_^)

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)