You're starting to speak Japanese more like young Japanese.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーYou're picking up native-like Japanese.
「自然な日本語を習得してきたね」=「こなれた日本語を話せるようになったね」
to pick up で「習得する・身につける」
ーYou're starting to speak Japanese more like young Japanese.
「若い日本人みなたいな日本語を話すようになったね」
ご参考まで!