回答
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The rate of becoming couples has increased lately.
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Lately more of us are getting into relationships.
上記の1番目は直訳で、2番目はもっと自然な英語です。
「relationship」とは一般的に「関係」という意味ですが、よく「romantic relationship」(恋愛関係)の省略で「relationship」だけを使います。
回答
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Many people start dating around this time of the year.
「毎年この時期になると多くの人たちが付き合い始める」の意味です(^_^)
latelyは「最近」の意味ですが、
「この時期」というのは「毎年この時期になると」という意味だと思うので、そのように解釈してaround this time of the yearと訳しました。
また、「付き合う」はdateなので、「付き合い始める」はstart datingと言います(^^)