I foresee a wonderful relationship moving forward.
「親しくなった外国人に対して使いたい」という設定なので、あえて固くない英語表現をお勧めします。
人間関係において、海外の場合、社会的地位や丁寧語・タメ口の違いなどは、日本ほどはっきりしていません。
加えて、会話やメールの最後に「今後とも・・・」などの決まったフレーズを使う習慣もないので、必ずしも言及する必要はありません。
「今後ともお付き合いを[宜しくお願いします](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/24811/)」の印象をそのまま丁寧な英語にすると、
「I see great things in store for our friendship.」
「I hope we're friends for a long time.」（←少々感動的な印象があります。）
「I foresee a wonderful relationship moving forward.」（←こちらはややビジネス寄りな印象です。）
などが考えらえれますが、以前に説明したように、
「くだけた終わりの挨拶」が、外国人の相手にとって自然な印象になると思います。
例：
Looking forward to our next talk.
Nice talking to you.
See you next time then.
See you around.
Until next time!
より感動的な印象を狙いたいのであれば、
「I'm glad we were able to connect.」（「（あなたと）つながって良かった。」）
「I'm thankful to have made a great friend.」（「素晴らしい友達ができて[嬉しい](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/37641/)。」）
なども考えられます。どうぞご活用ください。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
I hope we can keep in touch.
ずっと連絡取り続けられると嬉しいです。
「よろしくお願いします」は便利な日本語ですが、英語にはありません。
なので、都度伝えたい内容を考えると英訳しやすいかもしれません。
ぜひ参考にしてください。
日本 
アメリカ合衆国 
