I'll use what you taught me and give it everything I got!
"I'll use what you taught me"(教えてもらったことを活かして)"give it everything I got"(全力を尽くします)
全力で頑張るのカジュアル表現として"give it everything I got"はよく使われます。
"I'm gonna go kill it"(バッチリやってくる)なんかもいいですね。"Kill"の面白い使い方だと思います。
I'll take advantage of what you taught me and try my best!
I'll take advantage of the things you taught me and try hard!
「教えてもらったこと」という表現を英訳すれば 「what you taught me」または「the things you taught me」になります。この二つは同じ意味があります。「活かす」という言葉は英語で「take advantage of~」という意味があります。「全力で頑張ってきます」を英訳すると 「try my best」または 「try hard」になります。