5連勤の3日目って英語でなんて言うの？

Consecutiveは連続したと言う意味です。
5 consecutive working daysと言うと「5連勤日」となります。

"Third day of my 5 consecutive working days."
（5連勤の3日目）

"It's the third day of my five-day streak at work."
（これが私の5日間の働きぶりの3日目です）

他に使える表現を紹介します：
Today is the third day of five working days in a row.

in a rowは、「連続の」という意味でよく使われる熟語です。
Today's（今日は）という主語を文に加えました。

例えば下記のような英語表現はいかがでしょうか：

・I'm working five days in a row. Today is the third day.
5日間連続で働いています。今日が3日目です。

シンプルですが使いやすい英語フレーズだと思います。
in a row は「連続で」というニュアンスを持つ英語表現です。

例：
How many days in a row have you been working?
何日連続で働いているの？

お役に立てれば嬉しいです。