Are you going to write me? Can't wait! I'll write back to you.
write だけで「手紙を書く」という意味があります。
write to me のように前置詞 to をつけてもいいですが、若い人は「 write ＋人」と toを省くのが一般的になっています。
write back で返事を書く、という意味ですが、この場合は back があると toを省くことはできないので要注意。
必ず write back to ～となります。
Can't wait!
I can't wait!
That's great.
That's so nice.
など、「とても楽しみ！」というニュアンスを表すフレーズです。
You're going to write me a letter? I'm excited! I'll write you one as well!
You're going to write to me? How sweet, I'll send you one as well!
You're going to write me a letter? = 手紙を書いてくれるの？
なお、「手紙を書いてくれるのが信じられない！」というニュアンスで言いたい場合は "I can't believe you're going to write me a letter!”です。この際に "how sweet!" (なんて優しいんだ）と言うといいですよ。
How sweet = How lovely!
I'm excited = 楽しみにしているね
I'll write you one as well! = こっちも書いて送るね！
"I look forward to it" も「楽しみにしているね」と言う意味です。
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