彼女はいつも親に甘えている、そろそろ自立するべきだ。って英語でなんて言うの？

depend onで「頼る、依存する」です。
stand on one's own feetで「経済的に自立する」という意味です。

自分の足で立つと考えると覚えやすいと思います。また、depend は「〜次第だ」の意味があり It depends＝〜次第 というフレーズでとても日常会話で使用されます。

加筆です。

他には以下のような言い回しもあります：
She depends on her mother too much. She needs to learn to become independent.

Learn to→学ぶ
Become independent→自立する

ご参考になれば幸いです！