「軽蔑する」には「卑しいものや劣ったものと[馬鹿にすること](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/21618/)」、「さげすむこと」、「[見下すこと](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/66953/)」などの意味があります。
英語で表すとき、嫌悪するような軽蔑なら"despise"、見下すような軽蔑なら"look down on"が使えるのではないかと思います。
I despise liers. 「嘘つきを軽蔑する」→嫌悪する
I despise people like him. 「私は彼の様な人を軽蔑する」→嫌悪する
I look down on my boss. 「上司を軽蔑している」→見下す
despise と言います。「見下す」と言う意味で look down on も使います。
I really despise him.
私は本当に彼が嫌いです。
She talked to him and seemed like she was looking down on him.
彼女は彼に話しかけましたが、彼を見下しているように見えました。