搬入した人が、記入してくださいって英語でなんて言うの？

牛乳を持ってきた人が自分の名前を記入すること。

His or her name; 男の子かもしれないし、女の子かもしれないので、両方入れておくと良いと思います。

牛乳はmilkですが、学校などで見るケースにいっぱい入ってるものでしょうから、a case of milkとしました。

Personとしましたが、学校なら studentとしても差し障りあるものではありません。