廃棄物をきちんと区別しないと回収業者に迷惑がかかるって英語でなんて言うの？

これは「迷惑がかかる」がポイントとなる表現ですね。
日本語のセンスと少しずれますが、
cause a lot of trouble to our waste disposal contractor
(契約している廃品回収業者に多大な手間をかける）と言えば良いでしょう。

If we don't separate wastes properly, it going to cause a lot of trouble to our waste disposal contractor.

役立つ単語リスト:
- sort: 分類する、分ける
- waste: 廃棄物
- collection service: 回収業者
- cause problems: 問題を起こす
- burnable: 燃える
- non-burnable: 燃えない
- plastics: プラスチック
- recycling: リサイクリング
- environmental impact: 環境への影響
- efficiency: 効率

ご参考になれば幸いです。