「somebodyにsomethingをしてもらう」という場合の典型的な表現は「have somebody do something」で、英訳例のように使います。
ただし、今回のご質問の場合は、お子さんに「先生にお願いしなさい」と指示を出している訳ですので、下記のように「ask somebody to do something」を使う方が良いかも知れませんね。
(You should) ask a teacher to wipe your nose.
(You should) ask a teacher to take you to a restroom.
"してもらいなさい"は英語で、通常"Ask someone to do something"という形になります。これは「誰かに何かを頼む」という意味になります。
具体的な例では、「先生に鼻水を拭いてもらいなさい」は "Ask a teacher to wipe your nose." となり、「先生にトイレに連れて行ってもらいなさい」は "Ask a teacher to take you to the restroom." となります。
なお、"ask" の後に指示の対象となる人（この場合は"a teacher"）と行動（この場合は"wipe your nose"など）が続きます。
しかし、直訳よりも自然な表現をするためには、"You should ask a teacher..." などという形で言うのが一般的です。
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