隣の席の男の子って英語でなんて言うの？

「隣の席の＝隣に座っている」と考えれば良いのではないでしょうか。

「飛行機に乗っている」という文脈からして、「座席に座っている」ことは明白ですので、「席（seat）」という表現にこだわる必要はないと思います。

(1) The boy sitting on my right/ left-hand side　（過去形：the boy who sat on my right-/left-hand side)
'on my right-hand side' = 「私の右側」
'on my left-hand side' =「私の左側」
「私の右側・左側に座っている男の子」と単に「隣」というだけではなく詳しいディテールを伝えたい場合に使えます。

(2) The boy sitting next to me
'sitting' = 「座っている」
'next to ~' = 「〜の隣」('next to me' = 「私の隣」
「私の隣に座っている男の子」というニュアンスの一例です。

(3) The boy on the seat next to me
'seat' = 乗り物、会場などの「座席」のことを指します
'seat next to me' = 「私の隣の席」
直訳すると「私の隣の席の男の子」です。