「頓挫する」→「To suffer a setback」、「To be at a standstill」
「計画」→「Plan」
まとめて言いますと、
「計画が頓挫した」は
「The plan has suffered a setback.」か、
「The plan is at a standstill.」
と表現しましょう。
どちらでも使えます。
hold 〜 back で、
「〜が前に進むのを止める」
目的語（〜の部分）は、人や物、あるいは状況など応用がききます。
計画であれば、それが be held back と受動態にすれば「止められた」→「頓挫した」になります。
「予算の見通しがつかなくなり」は
because of a budget problem
from a budgetary point of view
などです。
ご質問の文は、
Although the project proceeded according to the plan, it was held back because of a budget problem.
のようになります。
fall through＝「頓挫する、失敗する」
at first＝「当初」
go well＝「上手くいく」
as planned＝「予定通り」
face～＝「～に直面する」
budget problem＝「予算的な問題」
At first, the project went well as planned, but it fell through when the company faced the budget problem.
「そのプロジェクトは当初順調に進んでいたが、会社が予算の問題に直面した時頓挫した」
Cripple＝「駄目になる」をfall thoughと置き換えても同じ意味で使えます。
ご参考まで
シンガポール 
日本 
