口がかたいって英語でなんて言うの？

「口が堅い」は英語でcan keep a secretと言います。
文字通りの意味は「約束を守ることが出来る」ですね。

「彼は口がかたく、信頼の置ける男だ」は

He can keep a secret so you can trust him.
と言います。

参考になれば幸いです。

こう言えますよ:
You can trust him with a secret.
(彼に秘密を言っても、彼は信頼できる人よ)、と言う意味です。

I can trust him with a secret,
(彼に秘密を言っても、私は信頼できる)。

その逆が、
I can’t trust my mom with a secret.
(母には秘密を言っても、信頼できない)つまり「口が軽い」と言う意味です。

参考に！