正月は出ずっぱりだったので、今週末は家でのんびりします。って英語でなんて言うの？

「正月は出ずっぱりだったので、今週末は家でのんびりします。」は、

Since I was out during the New Year's holiday, I'm going to stay home and relax with my family.

が言いやすいと思います。

Since ~　~なので
I was out　出かけていた　※対面・電話なので、あえて完了形は使わず、過去形で。
during the New Year's holiday　正月休み中
I'm going to ~　私は~するつもりです
stay home and relax　家でのんびりする
with my family　家族と

英訳1：「出ずっぱり」は、どちらかというとただのお出かけよりも、いろいろ用事があって忙しいといったニュアンスですね。run around「走り回る」を使うとうまく伝わります。

英訳2：really busy と言い切ってもいいでしょう。一般的に外出していて忙しい状況がわかります。
take it easy で「（家で）のんびりする」と表現できます。

英訳3：hectic はネイティブがよく使う単語です。busy よりも「あわただしい」「てんてこ舞い」「バタバタして」といった状況が伝わります。
rest は「休養する」なので、家でのんびりする時にも使えます。