independently: [自立](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/56415/)して、という意味。他の人や状況に[影響され](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/45418/)ずに自立して行動する=自主的に、という意味になります。
act on your own judgment:自分自身の[判断](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/40659/)にもとづいて行動する=自主的に行動する、となりますね。