flu shot が
「[インフルエンザ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31996/)予防接種」になりますので、
get a flu shot
というのが最も一般的かと思います。
flu vaccine
「インフルエンザワクチン」もありますが、やっぱり最も使うのは flu shot ですね。
ご参考になれば幸いです。
例:
I got my flu shot today and my arm hurts.
今日、インフルエンザの予防接種を打って腕が[痛い](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36238/)です。
<ボキャブラリー>
flu = インフルエンザ
flu shot = インフルエンザの予防接種
get a flu shot = インフルエンザの予防接種を打つ
他の方が回答されている通り、[インフルエンザ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31996/)の予防接種はflu shotといいます。
influenza/flu = インフルエンザ
flu shot = インフルエンザの予防接種
予防接種を受けた(ワクチンを接種した)という意味で、vaccinateという動詞も使います。
My dog has been vaccinated.(私の犬は予防接種済みです)
予防接種のことを指してimmunization([免疫](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/57287/))という言葉を使うこともあります。
予防接種の記録=record of immunization/immunization record