回答
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Professor A was a sub-chief examiner of my doctoral dissertation.
「担当していただきました」を英語で表現するのは難しいので、「A教授は、私の博士論文の副査でした」という意味の文にしました。
博士論文や修士論文などの大きな論文には、dissertation や thesis を使います。
そうしたものよりも短めの、雑誌などに載せる論文は paper と言います。
博士論文は、doctoral dissertation や doctoral thesis、修士論文は、master's thesis と言うことが多いです。
「主査」、「副査」は、両方とも審査する人ですので、examiner を用い、その前に「主」「副」に対応する英単語をつけた、いろいろなバリエーションが考えられますが、chief examiner と sub-chief examiner が分かりやすいのではないかと思います。
「指導教授」には、supervisor を用います。
お役に立てれば幸いです。
回答
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Dr. A was a vice chair in my dissertation committee.
「A教授は博士論文の審査委員で副査でした」という意味になります。
博士論文の審査をしてくれる教授たちの委員会をdissertation committeeと呼びます。
主査はcommittee chair
論文審査はdissertation defense
また、博士課程の学生で論文を仕上げて審査（defense）をするだけのステータスの学生をABD (All But Dissertation)と言います。
日本 
