早く返事してほしいんだけど…って英語でなんて言うの？

Reply as soon as possible.
Reply - 返事
As soon as possible - なるべく早く

取引先など、お客様にたいしてのメールの時は
Please reply as soon as possible.
などとpleaseを入れる事でフォーマルな会話になります。

As soon as possibleと言うフレーズは、今ではSNSや友達どうしの会話でASAPと略されて頻繁に見かけるフレーズとなっています。
日本語で言えば「なるはや」で返事がほしい。と同じ感じでしょうか。

Write back as soon as you canも同じ意味ですが、write（書く）と書いてあるので電話での返事が欲しい時は使えません。メールの時に使いましょう。

「早く返事してほしいんだけど…」はこのようにもいいます：

Could you reply when you read it?
「読んだら返事してくれる？」というニュアンスです。

I want a quick reply.
I want you to reply ASAP.
どちらもちょっとストレートな表現で、「早く返事してほしい」というニュアンスとなります。
ASAPはas soon as possibleの省略です。