弱い部分を見せたくない。って英語でなんて言うの？

英訳1：「見せる」は show を使います。「表に出す」とか「さらす」といったような場合です。
「弱い部分」は「弱さ」「弱点」と置き換えられるので、weaknesses です。複数にするのが自然です。

英訳2：1と違って「（人に）見られたくない」という言い回しもできます。その場合、not want anyone to see ~ になります。

weaknesses を weak points に言い換えてもOKです。

強くあろうとして、自分の周りにいる人に自分の弱さを隠している。

those around me; 自分の周りの人