電車では他人を押しのけて我先に座席に座ろうとする人がいるって英語でなんて言うの？

①は、あなたの日本語にピッタリの表現です。

"pushing and shoving"というフレーズは、「人を押しのけて行く」様子を表現しています。

どこでも使える表現です。

②は、「群衆の中を、押し分けながら進んで行く」様を表現しています。
これは、電車ではなく、屋外での混雑した中を、ちょっと乱暴に進む様子を描いています。

どちらも、否定的な動作を表現しています。

お役に立てば、幸いです。

感謝

Some people rush to the seats the moment the train doors open, pushing others aside just to get a seat first. 「扉が開くと、一部の人々は他人を押しのけて最初に座ろうと急いで座席に突進する。」

rushは「急ぐ、突進する」という意味で、ここでは空いている席に素早く移動する様子を示すのに使われます。momentは「瞬間」という意味で、doors openの後につけることで、「扉が開いた瞬間に」といった状況を表します。pushing others asideは「他人を押しのけて」という部分で、自分の目的を果たすために乗客が他人を無視して行動する様子を表しています。