Unfortunately, I don't feel any inconvenience doing that. So, I don't need it.
unfortunately には、「不運にも、不幸にも」という意味もありますが、「残念ながら、あいにく、申し訳ありませんが」という意味で、お断りをする時にも使える表現です。
「不便を感じる」という意味の feel convenience を用い、その後に doing that（それをすることに）を付け加えて、I don't feel any inconveninece doing that, で、「それをすることに全く不便を感じない」という意味になります。
not と any の組み合わせは、「全否定」の意味、つまり、「全く〜ない」という意味になります。
例えば、次のような文で使います。
I don't know anything about that. = I know nothing about that.
（それについては何も知らない）
お役に立てれば幸いです。
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